曲线数学表达

前言

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贝塞尔曲线

在讲述贝塞尔曲线的发展与表达之前，我们先回顾一下直线的表示方式。
回到小学数学，假设我们有两个点，他们相连即可构成一条直线。
用式子表达为：
$$
{\rm}(t) = t + (1 - t)
$$
仔细观察此时的t，我们已经完成了在计算机图形学中一个非常重要的表达方式：插值（lerp）
当然，我们提出这个概念肯定不是为了画一条直线……
我们可以画很多条直线，比如这两条：

然后，我们可以连接这两个点，在使用一次lerp,此时，随着t的变化，这个点在二维平面中也随之变化

于是，我们画出来了一条曲线，这个，就是经典的贝塞尔曲线。好了，讲完了（不是……）

接下来，才是我们正式开启曲线表达方式的旅程。

几种解释方式

曲线的表达是公式，而公式可以被写成许多种方式，下面我们介绍常见的表达方式：

lerp+递归

按照之前我们提到的绘制曲线的方式，从两点构成直线，到三个点画出曲线，我们可以加入更多的点，绘制出来的曲线也如出一辙：

这样的方式，我们称之为插值递归法。数学表达如下：

非常符合计算机直觉，但是，递归终归是一种昂贵的行为。所以我们也提供其他的表示方式。

Bernstein(基函数表示)

我们先放一张图：

这个就是国内大多数的教材在描述贝塞尔曲线时给出的解，可以看到，我们将每一个控制点单独列出来，并且每一个控制点所带的参数都是一个t为变量的方程。这样的方程组称为Bernstein基函数。

它们各自表示什么意思呢？
我们看向旁边的基函数曲线部分，我们可以将它理解为一种权重，或者“影响力”。

当t的参数函数值很大的时候，它乘以一个点，所得到的结果会靠近这个点，或者说（拉取）这个结果点【前提是所有的参数方程加起来的结果为1】
也就是说，在这个式子里面，我们有三个方向的力作用到结果点上面，这可以理解为Bernstein基函数的通俗解释方式。

polynomical coefficients（多项式系数）

既然我们可以用它组成以控制点为核心的基函数，那我们当然也可以将T提取出来，组成新的多项式
当然，还是先上图

由于系数变成了控制点，所以我们可以看到随着自变量t的变化，控制点所表示的系数却没有变化，
但是它仍然以类似（拉扯）的方式影响结果点，每一个系数的拉扯都是以控制点为最小单位的向量。

martix线性代数表示

挡然，你肯定已经发现了，使用一个简单的矩阵就可以完美的描述这个问题。线性代数的表达往往完备且优雅：

如图：

但这并不意味着其他方式不重要，相对于单纯的数学表达，带有显著物理特征的表达方式会有别样的美感。
我们这里放一张全家福吧：

主要应用场景

PS\设计软件等

贝塞尔曲线的优缺点

优点

光滑、连续、优雅……很适合一锤子买卖

缺点

1.lack local contorl
很显然，我们使用多项式系数表达贝塞尔曲线的时候，可以发现，每一个结果点都会收到每一个控制点的影响，这几乎是无法忽视的问题
假如我们每增加或者移动一个控制点，整条曲线就一起摇摆，那这曲线也太过于自由了。完全融入不了严肃的工作场景

2.没有精确地路径点
这一点来源于其计算性质，由于它受到了过多的“拉扯”，所以我们并不能让它通过某一点，出非精确计算达成某种巧合，
但是这个功能无论是在工业软件还是在游戏中都是十分重要的。

3.不稳定（指修改控制点时）
这一点和第一点可以算是师出同门了。我们急需一种方式约束他

4.计算困难
贝塞尔曲线的计算难度将随着阶数上升而显著提升

B样条

相信我们谈论了这么久的贝塞尔，你们一定猜到它不是重点
当然，由于贝塞尔曲线过于固执和不可控，它很难用于工业设计或者游戏设计领域，只能辅助人们做做PPT之类的活儿。
但是样条，他不一样。

样条的定义

样条，是早期人们在设计过程中为了得到自己想要的设计效果，利用细线、软管和一些固定方式扭曲得到的细长条。
我们现在借用这个词来描述曲线。

U的含义

正如大家想象的那样，样条线是使用类似压铁之类的外部工具进行曲线造型。
每次用一个压铁固定一段样条时，我们就会认为的将一条曲线分为两个部分，或者反过来说，把两条曲线拼接到一起。

诶……是不是想到了什么。如果说贝塞尔曲线被抛弃的原因是它不受控制，如果它足够短，那不受控就不受控吧，我们把这些
“元素”连接在一起，不一样可以拼接出曲线吗。可以说，这个想法也相当的计算机。

于是，每一段的曲线我们把它成为u，一条曲线将以u1,u2,u3等联系在一起。

contorl point & knots

我们将简单的三阶贝塞尔曲线相连，获得以下示意图：

相比之前的原始曲线，我们看看新的曲线有没有解决上面的四个问题？

1.它使得我们能够在节点（连接处）对曲线进行调整，同样的，也可以在控制点处进行调整，无疑解决了缺少控制点的情况。

2.精确路径点的问题，可以使用节点来解决。我们可以调整节点的位置，来使得曲线通过我们希望的方位。

3.不稳定的问题，是由不同曲线相连的方式解决的。由于分段曲线之间相互独立，所以不存在改变一个点，全局跟着动的情况

4.计算代价的问题，由于整条曲线由很多条三阶贝塞尔曲线相连而成，三阶贝塞尔曲线本身的计算开销低，连在一起也不会指数级上升。

由此来看，将3阶贝塞尔曲线相连仿佛是神之一笔，但是，这样就解决所有问题了吗？

虽然我们使用连接低阶贝塞尔曲线的方式规避了之前提出的问题，但是一条曲线终究是要落到实际的应用中。

我们接下来要讨论的就是关于曲线在应用中最重要的性质：连续性

样条线连续性分析

如果说样条线是由多条贝塞尔曲线相连形成，那么连接点必然是需要重点讨论的。
简单的连段相连，我们可以分为断开（broken）、接触(touch)、相接且切线同向(aligned)、相接且切线矢量相等(mirrored)。

连续性分析的物理意义

在游戏中，我们规划出一条曲线，可能是汽车的运动轨迹或者人物的行走轨迹，那么人物会以什么样的方式运动就是重点了。
我们在初中物理中学过，以时间t为自变量，路程l为因变量的一阶方程，其中，一阶导数为速度、二阶导数为加速度。
现在，我们把曲线看做一段距离，什么样的连接方式可以保证匀速、什么样的方式可以保证速度变化合理就是我们需要讨论的话题了。