四元数与3D旋转
前言
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-文章仅涉及简单的四元数定义与其在几何中的应用，不涉及群论等数学内容（因为我也不会）
四元数简介
四元数，或者我们称其为汉密尔顿四元数，从数学意义上讲，是对于复数集合的一次扩充。它引入了更多的复数维度，用于描述更为复杂的空间操作。
四元数的发明起源与数学家们期望寻找“三维复数”，我们知道二维空间中，将一个轴定义为虚轴就可以建立二维复数的表示坐标系。当然，我们也可以将虚数轴暂时隔离出来，我们就会得到一个实数轴（一维空间）和一个二维变量（复数）。记住这个模型，在后面它将作为intro引入四元数的物理意义。
按照我们小学二年级的知识，坐标轴有几条就会代表这是几维的空间，那么，只需要添加一个虚轴（一个实轴，两个虚轴）就可以组成三维的空间。但是事实告诉我们，使用这种方式，无法正常的描述和计算三维空间中的变化。很多数学家都卡在了这一步，笔者理解的原因是因为复数（i）的性质导致其能表示的范围收窄了。我们可以粗略的将复数理解为实数的投影，也就是利用一个单位球进行映射：
不难看出，实数与虚数是有关系的，但是并不是简单的线性关系，所以想要单纯使用两个虚数代替两个实数构建坐标，是不利于计算和定义的（事实上我们也办不到）。那能不能增加更多的虚数来进行描述呢，很遗憾，你并不能证明，使用虚轴的坐标系在其物理性质上可以等同于实数坐标系。但是汉密尔顿想解决的问题，仅仅是使用复数描述空间变换，而不是空间本身，所以，增加虚数的作用，就变成了使用高维变换作用于低维空间，这就要引出我们接下来要讨论的内容：四维空间变换与三维空间。
同时，我们先抛出四元数的计算公式，并希望大家先行思考，为什么公式长成这个样子，在不进行任何数学推导的情况下，它是否满足我们对数学公式的最高评价：符合直觉。
虚数轴定义：
四元数定义：
四元数表达点旋转：
三维空间的旋转表示
对计算机图形学有所了解的同学应该对三维空间变换如数家珍，旋转作为最为常见的空间变换，已经刻进了他们的DNA里面。我相信大部分人对于旋转的最初理解都源自于旋转矩阵，旋转矩阵是一个很优秀的方式来表述旋转，它等同于坐标系的线性变换，同时也利于进行连续变换的计算。所以，我们将会以旋转矩阵为中心介绍其他的三维旋转的原理。
首先我们介绍一下旋转矩阵，众所周知，三阶矩阵可以用来表述一个三维点坐标（三个向量从原点开始的平移|单个向量也可以表达一个三维点）。而如果先找出一个旋转轴，那么就只需要两个变量就可以完成旋转，现在我们先设定一个点V，一个旋转轴n,一个旋转角度θ。旋转表达如下：
现在，我们试着求解R（旋转矩阵），我们只贴出一个向量的求解方式：
三维旋转的矩阵表达我们先说到这里，重点是四元数的物理理解
四元数旋转原理
在初步了解了三维旋转的表示方法之后，我们不难发现，只有四元数是无法直观理解的，这是因为我们习惯了三维空间的表述，对于更高维度的空间无法想象。所以，我们需要使用归纳与推理的方式，尝试从低维到高维理解四元数。
首先，我们返回第一张图：，我们认为其原有的空间为一维空间，在一维空间上的点是x()，他可以表示一个一维向量。
现在，我们在加入i轴之后，取平面上一个点p,连接原点与p点，构成一个二维向量。
使用二维向量左乘这个一维向量，可以得到一个新的向量，其指向的点为p2。
此时我们发现，p2已经不在原有的一维坐标系上，而是“升维”到了二维平面上。也就是说，在经过了更高维度的变换之后，空间中的点脱离了原本的坐标系空间。
我们自然是不希望一次变换之后，整个世界中都缺失了变换点，所以我们需要把这个点重新变换回原有的坐标系。既然高位变换可以升维，那么其逆向变换，或者说反方向变换应该也可以降维。
我们在原有的空间中找到一个p3，连接p2p3，使用向量v2就可以使得目标点重新变换到原有的坐标系中。至于为什么要选p3，是因为，从向量的角度出发，我们只需要把已知的向量同角度反向旋转，就可以完成操作，无需引入其他变量。
在明白上述的过程之后，我们试着将它扩展到三维空间中。
三维空间中体的旋转可以代替为所有顶点的旋转，而点的旋转可以代替为点的位移。所以，我们先求解一个点的旋转位移。
我们在使用旋转矩阵进行变换时，可以直观地理解为点不动，矩阵乘法会导致坐标系的变换，从而反映到点的坐标上。
但是四维的旋转难以想象，依据我们之前的推导，一次左乘就能将三维坐标中的点转移到四维空间中。而这种向量乘法可以通过“反方向”的方法，也就是向量逆的右乘使得坐标重新回归原有空间。这也是为什么我们要取角度的二分之一，进行两次乘法。
同样，你可以在其他文章中找到四维空间“左旋、右旋”的表述，这里我们不再解释。
四元数与矩阵、欧拉角的转换
三种表达方式一共有九种变化，但是我们常用的一般为三种。矩阵->四元数；四元数->矩阵；欧拉角->四元数。
其中，矩阵承担了计算和中转的职责，四元数的优势在于插值和计算，欧拉角则更多的是提供给用户侧进行输入所使用的。
这几种表达方式的优劣我们借用书中的一个表格展示：
参考资料
部分图片：《3D数学基础：图形与游戏开发》
Q.E.D.
